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東アジアでは古来、歴史的に「天子の住む都」「首都」を意味する普通名詞として京（きょう）、京師（けいし）が多く使用されていた。西晋時代に世宗（司馬師）の諱である「師」の文字を避けて京都（けいと）と言うようになり、以後は京、京師、京都などの呼び名が用いられた。

「京」とは、もともと「首都」の意味。
「天子の住む都」のことだそうです。
これは、日本独自の伝統ではなく、中国に遡るのだとか。
中国大陸の西晋時代、世宗（司馬師）の諱である「師」の文字を避けて京都（けいと）と言うようになったのが由来のようです。
それ以後は、「天子の住む都」＝「首都」が「京」、「京師」、「京都」というように呼ばれるようになったと言われます。

これが、日本にもわたり、平安遷都の平安時代以前でも、首都は「京」と呼ばれています。
たとえば、「飛鳥京」や「恭仁京」などです。
そして、平安遷都以後、平安京が京都と呼ばれるようになりました。
当初は「京」や「京師」という呼び名も併用されていたそうですが、その後、「京の都」（きょうのみやこ）、「京」（きょう）、「京都」（きょうと）という呼び名が定着し、やがて地名としての「京都」になったわけです。

その言葉のもともとの意味からすれば、大政奉還で天皇が今の皇居に入った時に、「京」も移動したことになります。
ということで、明治時代以降は、「東」の「京」ということで、それまでの「江戸」は「東京」になりました。
しかし、「京都」はそれまで数百年も「京都」でしたから、「元京都」というわけにもいきません。
それに、現在も「天皇の在所を示す高御座」は京都御所に安置されており、京都市が今も首都である、という見方もできます。
※参考：ウィキペディア